МАН Системи лінійних рівнянь

Вступ

У різноманітних галузях людських знань (наука, виробництво, економіка, теорія масового обслуговування, тощо), а також при вивченні багатьох фізичних і хімічних процесів, алгебраїчних і геометричних закономірностей часто виникають задачі, розв’язування яких приводить до систем лінійних рівнянь, в яких кількість рівнянь не обов’язково дорівнює кількості невідомих. Невідомих може бути більше або менше від кількості рівнянь. Для розв’язування таких систем розроблено ряд методів.

В школі навчальним планом не передбачено достатньо часу для набуття навичок розв'язування таких задач.

Проаналізувавши проблеми, які виникають у учнів при розв’язуванні лінійних систем рівнянь з двома змінними, я виділила декілька найсуттєвіших:

• невміння виражати одну змінну через другу при розв’язуванні системи двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки;
• невміння підставити вже отриману змінну у друге рівняння при розв’язуванні системи двох лінійних рівнянь з двома змінними способом підстановки і способом додавання;
• невірна побудова системи координат (різний одиничний відрізок на осях ординат и абсцис) при розв’язуванні системи двох лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом.

Саме це і спонукало мене до написання цієї роботи. В ній я вирішила зайнятися пошуком раціональних способів розв’язування систем лінійних рівнянь методом підстановки та ознайомитися і навчитися застосовувати метод визначників та метод Гауса, які у шкільному курсі математики не розглядаються.

В першому розділі роботи я ввела означення системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими та способи їх розв’язання, що зустрічаються у в основній школі; у другому розділі я зробила дослідження систем двох лінійних рівнянь з двома невідомими, а в третьому розділі  я розглянула методи розв’язування систем лінійних рівнянь. Зокрема метод введення нових невідомих при розв’язуванні систем лінійних рівнянь, метод Крамера та метод Гауса .

Розділ 1. Означення системи рівнянь та властивості перетворень

            Загальний вигляд системи  лінійних алгебраїчних рівнянь СЛАР з невідомими запишемо так:

            Система називається однорідною, якщо в правій частині всі вільні члени дорівнюють нулю.

            Система рівнянь називається неоднорідною, якщо в її правій частині є хоча б один відмінний від нуля елемент.

            Сукупність чисел називається розв’язком системи, якщо кожне рівняння системи перетворюється в числову рівність після підстановки чисел замість відповідних невідомих.

            Система може мати єдиний розв’язок, безліч розв’язок або взагалі не мати розв’язків.

            Системи, що не мають розв’язків, називаються несумісними, а які мають розв’язки – сумісними.

При розв’язуванні системи рівнянь використовують основні правила перетворень системи на рівносильну їй, а саме:

1. одне з рівнянь системи можна замінити на рівносильне;
2. якщо одне з рівнянь системи має вигляд  ( – вираз, що не містить ), то в інших рівняннях системи можна замінити змінну  на її вираз;
3. будь-яке рівняння системи можна замінити на рівняння, яке отримуємо при додаванні його до будь-якого іншого рівняння системи;
4. будь-яке рівняння системи можна помножити на число або вираз, який не перетворюється в нуль.

Розділ 2. Дослідження систем двох лінійних рівнянь з двома змінними

Системою двох лінійних рівнянь з двома невідомими  х, у називається система рівнянь виду

де а₁, а₂, b₁, b₂, c₁, c₂ – довільні дійсні числа.

У лівих частинах рівнянь залишають члени, що мі­стять невідомі, а в правих — вільні члени.

Розв'язати систему рівнянь у даній числовій області означає знайти всі її розв'язки, які належать цій обла­сті, або довести, що в цій області система розв'язків не має.

Дві системи рівнянь називаються рівносильними, якщо всі розв'язки однієї системи є розв'язками другої і навпаки

Дослідити систему означає за її коефіцієнтами встановити, який із нижче наведених випадків має місце:

1. Система має єдиний розв'язок (визначена).
2. Система не має розв'язків (несумісна).
3. Система має безліч розв'язків.

Система має єдиний розв'язок, якщо графіки рівнянь мають одну спільну точку, координати якої і є розв'яз­ками даної системи.

Система не має розв'язків, якщо графіки рівнянь вза­ємно паралельні прямі.

Система має безліч розв'язків, якщо графіки рівнянь збігаються (одна й та сама пряма).

Наведемо теорему, з якої випливає дослідження системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими.

Нехай дана система рівнянь

Помножимо перше рівняння на b₂, а друге – на –b₁. Додавши ці рівняння, маємо:

 (а₁b₂ – b₁а₂)х = с₁b₂ – b₁с₂.

Помноживши перше рівняння на  – а₂ , а друге на а₁, і додавши їх, маємо

(а₁b₂ – b₁а₂)х = а₁с₂ – а₂с₁.

Дістаємо систему рівнянь

рівносильну даній системі.

Теорема.  Якщо а₁b₂ – b₁а₂ = 0 (∆ = 0) і с₁b₂ – b₁с₂ = 0(∆_х = 0),  то        а₁с₂ – а₂с₁ =  0 (∆_у = 0).

Доведення. Запишемо дані рівняння у вигляді

Перемножимо почленно ліві й праві частини рівностей.
Дістанемо  а₁b₂b₁с₂= b₁а₂с₁b₂,  а₁с₂= а₂с₁. Звідки маємо а₁с₂ – а₂с₁ =0.
Що й треба було довести.
Дослідимо дану систему аналітично.
1. Якщо а₁b₂ – b₁а₂ = 0 і с₁b₂ – b₁с₂ = 0, тоді й а₁с₂ – а₂с₁ =0, тобто система має безліч розв'язків.

Знайдемо залежність між коефіцієнтами у випадку, коли коефіцієнти не дорівнюють нулю.

З рівності а₁b₂ = b₁а₂ маємо  З рівності с₁b₂ = b₁с₂ маємо .

Отже, в цьому випадку   

Система має безліч розв'язків, якщо коефіцієнти при відповідних невідомих і вільні члени пропорційні.

2. Якщо а₁b₂ – b₁а₂ = 0 і с₁b₂ – b₁с₂ ≠ 0  –  система не має розв'язків.

З рівності а₁b₂ = b₁а₂ маємо      

З нерівності с₁b₂ ≠ b₁с₂ маємо .

Отже, 

Система не має розв'язків, якщо її коефіцієнти про­порційні між собою, але не пропорційні вільним членам системи.

3. Якщо а₁b₂ – b₁а₂ ≠ 0  –  система має єдиний роз­в'язок:

З нерівності а₁b₂ ≠ b₁а₂ маємо.

Система має єдиний розв’язок, якщо коефіцієнти при відповідних невідомих не пропорційні між собою.

Приклад 1. Знайти при яких значеннях параметра а система рівнянь

має безліч розв’язків; не має розв’язків.

 Розв'язання. Система має безліч розв'язків, якщо

Знайдемо, які значення а задовольняють рівняння

4а² – 1 = а²+2,

а = ± 1.

Коли а = 1, дістанемо , тобто система має безліч розв'язків.

Коли а = –1, дістанемо – 1 = – 1 = –1, тобто система має безліч розв'язків.

В інших випадках, тобто при а ≠ ± 1, система має єдиний розв'язок.

Відповідь: а = ± 1; значення а, при яких система не має розв'язків, не існує.

Приклад 2. Розв'язати систему рівнянь

відносно невідомих х і у.

Розв'язання. Маємо:

∆ =  = (а – 1)²(а + 1) – (2а – 1)(а² – 1) = – а(а² – 1).

∆_х =  = (а + 1)² – (а² – 1)² = – а(а + 1)²(а – 3).

∆_у =  = (а – 1)²(а + 1) ) – (а+1)²(2а – 1) = а(а + 1)(а² – 5а + 2).

Визначимо, при яких значеннях параметра а ∆ = 0.

Розв’яжемо  рівняння – а(а² – 1) = 0, звідки а₁ = 0, а ₂ = 1, а₃ = –1.

Розглянемо чотири випадки.

а) Нехай а ≠ 0, а ≠ ± 1. Тоді ∆ ≠ 0 і система має єдиний розв'язок:

х =

у =

б)        Нехай а = 0. Дана система має вигляд

Оскільки , то система має безліч роз­в'язків: х — будь-яке число, у = х – 1.

в) Нехай а= 1. Дана система має вигляд      

Оскільки перше рівняння цієї системи не має розв'яз­ку, то система не має розв'язків.

г) Нехай а = –1. Дана система має вигляд   

Ця система має безліч розв'язків: х = 0, у — до­вільне число.

Відповідь. Коли а ≠ 0 та а≠ ± 1,  х =  у =

Коли а = 0, х — будь-яке число;  у = х – 1; коли а = – 1, х = 0, у — будь-яке число; коли а = 1, система не має розв'язків.

Розділ 3.  Методи розв’язування систем лінійних рівнянь

3.1. Із історії розв’язування систем рівнянь.

 У давньовавилонських  текстах, написаних у III-II тисячоліттях до н.е., містяться немало задач, які розв’язуються за допомогою складання систем рівнянь.

Задача 1 “Площі двох своїх квадратів я додав: . Сторона другого квадрата дорівнює  сторони першого и ще 5".

Відповідна система рівнянь у сучасному  записі має вигляд:

                    (1)

Для розв’язування системи (1) вавилонський автор підносить у другому рівнянні у до квадрату и відповідно до формули квадрата суми, яка йому, очевидно, була відома, отримує:

Підставляючи це значення у в перше із системи рівнянь (1), автор приходить до квадратного рівняння:

Розв’язуючи це рівняння за правилом, яке застосовується нами в даний час, автор знаходить х, після чого знаходить у. Отже, хоч вавилоняни і не мали алгебраїчної символіки, вони розв’язували задачі алгебраїчним методом.

Діофант, який не мав позначень для багатьох невідомих, прикладав чимало зусиль для вибору невідомого таким чином, щоб звести розв’язування системи до розв’язування одного рівняння. Ось один приклад із його “Арифметики".

Задача 2. “Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а сума їх квадратів – 208".

Цю задачу ми розв’язали б шляхом складання системи рівнянь:

Діофант же, вибираючи в якості невідомого половину різниці шуканих чисел, отримує  (у сучасних позначеннях):

Додаючи ці рівняння, а потім віднімаючи одне із другого (все це Діофант проводив усно), отримуємо

x = 2 + 10;  у = 10 – 2. Далі, х² + у² = (z + 10) ² + (10 – z)² = 2z² + 200.

Таким чином,     2z² + 200 = 208,

звідки   z = 2;  х = 2 + 10 = 12;  у = 10 – 2 = 8.

3.2. Метод введення нових невідомих при розв’язуванні систем лінійних рівнянь.

Цей метод корисно застосовувати, коли невідоме входить у рівняння скрізь у вигляді однієї і тієї ж комбінації (особливо коли ця комбінація містить степені невідомого вище першої).

Наприклад. Розв’яжемо систему рівнянь

Розв’язання. Позначимо  через u , а  через υ.

Тоді система приймає вигляд тобто одержали систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими u и υ. Із першого рівняння виражаємо u через υ: , і підставляємо в друге: 5 (4 - ) -2υ = 1, звідки υ = 2. Тепер знаходимо u = 1 і розв’язуємо рівняння = 1, = 2.

Відповідь: x = 1, y = 0,5.

3.3.  Розв'язування систем лінійних рівнянь за допомогою визначників

Розв'язуючи систему рівнянь

дістаємо формулу для визначення невідомих х і у:

   де а₁b₂ – a₂b₁ ≠ 0.

Вираз а₁b₂ – a₂b₁ умовилися позначати символом  1 • який називається визначником другого порядку.

Розглянемо, як розкривається визначник другого порядку

 = а₁b₂ – a₂b₁

  За допомогою визначників розв'язання системи мож­на записати у вигляді:

Визначник    назвемо  головним,  визначники  = ∆_х  і  = ∆_у  відповідно визначниками для х та у.

Сформулюємо правило для складання цих визнач­ників.

Головний визначник складається з відповідних ко­ефіцієнтів при невідомих в цій системі.

Визначник для кожного з невідомих ∆_х і ∆_у, утворює­ться з головного визначника, якщо в ньому стовпчик коефіцієнтів при цій невідомій замінити стовпчиком вільних членів.

∆ = = а₁b₂ – a₂b₁;

∆_x = = c₁b₂ – c₂b₁;       ∆_y = = а₁c₂ – a₂c₁.

Для того, щоб система (1) мала єдиний розв’язок, необхідно і достатньо, щоб головний визначник системи ∆ був відмінним від нуля. В цьому випадку розв’язок знаходиться за формулою

х =  у =

Ці формули називаються формулами Крамера.

Якщо коефіцієнти а₁, а₂, b₁, b₂ відмінні від нуля, то умова ∆ ≠ 0рівносильна умові   

Для того щоб система (1) не мала розв’язків необхідно і достатньо, щоб головний визначник ∆ дорівнював нулю і хоча б один із  визначників ∆_х або ∆_у був відмінним від нуля.

Якщо коефіцієнти а₁, b₁, а₂, b₂ відмінні від нуля, то умова ∆ = 0, ∆_х ≠ 0        (∆ = 0, ∆_у ≠ 0) рівносильна умові

Для того щоб система (1) мала нескінченну кількість розв’язків необхідно і достатньо, щоб ∆ = ∆_х = ∆_у = 0. Якщо коефіцієнти а₁, b₁, а₂, b₂ відмінні від нуля,  то умова ∆ = ∆_х = ∆_у = 0 рівносильна умові

Якщо на систему (1) не накласти умову а₁² +b₁² ≠ 0, а₂² +b₂² ≠ 0, то із того, що ∆ = ∆_х = ∆_у = 0може і не випливати, що система (1) має нескінченні кількість розв’язків. Наприклад для системи   всі три визначники  дорівнюють нулю, але система розв’язків не має.

Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь

за допомогою визначників.

Розв’язання.

Відповідь: (2;1).

Приклад 2. Розв’язати систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом Крамера:

,   ,    .

, 

Відповідь: (–3.6; –6.4).

Приклад 3.. Розв’язати системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими методом Крамера:

Відповідь: (-2;1;1).

Приклад 4. Знайти всі значення параметра  а при яких система

має єдиний розв’язок.

Розв’язання. Дана система має єдиний розв’язок при мові ∆ ≠ 0.

 Оскільки  ∆ =  = 42 – 7а,

то система має єдиний розв’язок при а ≠ 6. 

Приклад 5. Знайти всі значення параметра  а при яких система

не має розв’язків.

Розв’язання. Оскільки  ∆_х =  ≠ 0, то дана система не має розв’язків

тільки у випадку  ∆ =  = – 6а + 16 = 0, тобто при а = .

Приклад 6. Знайти всі значення параметра  а при яких система

має нескінченну кількість розв’язків.

Розв’язання. Оскільки 15² + а² ≠ 0, 5²+10²≠ 0 і

 ∆_у =  = 0, то дана система має нескінченну кількість розв’язків при умові          ∆ = ,  ∆_х = ,

 тобто при а = 30.

Приклад 7. Для кожного значення параметра  а розв’язати систему

Розв’язання. Знаходимо

∆ = ,    ∆_х =,      ∆_у = .

При  а ≠ 1, а ≠ – 1 маємо ∆ ≠ 0, в цьому випадку дана система має єдиний розв’язок

х =    

При а =1 маємо ∆ = ∆_х = ∆_у = 0. В цьому випадку вона набуває вигляду

і її розв’язки можна записати у вигляді   х = t,   y = 1 – t,  де   t – будь-яке дійсне число.

При а = – 1 маємо ∆ = 0,  ∆_х ≠ 0, і, значить, дана система розв’язків не має.

Отже, при всіх а із множини (–; –1)( – 1; 1)  (1; +) система має нескінченну кількість розв’язків х =     при а = 1 система має нескінченну кількість розв’язків х = t,   y = 1 – t,  де t – будь-яке дійсне число; при а = – 1система розв’язків не має.

3.4. Метод виключення невідомого (метод Гауса)

Метод послідовного виключення невідомих Гауса являється одним із найбільш універсальних і ефективних методів розв’язування лінійних систем. (Карл Фрідріх Гаус (1777-1855) – німецький  математик и фізик, роботи якого мали великий влив на подальший розвиток вищої алгебри, геометрії, теорії чисел, теорії електрики і магнетизму.) цей метод відомий в різних варіантах уже більше 2000 років.

Метод Гауса можна застосувати до будь-якої  системи лінійних рівнянь, він ідеально підходить до розв’язування систем, які містять більше трьох лінійних рівнянь.

Переваги методу:

• менш трудомісткий у порівнянні з другими методами;
• дозволяє однозначно встановити, сумісна система чи ні, і якщо сумісна, знайти її розв’язок;
• дозволяє знайти максимальне число лінійно незалежних рівнянь – ранг матриці системи.

Істотним недоліком цього методу являється неможливість сформулювати умову сумісності і визначеності системи в залежності від значень коефіцієнтів і вільних членів. З іншої сторони, навіть у випадку визначеної системи цей метод не дозволяє знайти загальні формули, які виражають розв’язок системи через її коефіцієнти і вільні члени, які необхідно мати при теоретичних дослідженнях.

Проілюструємо метод Гауса на прикладі системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими.

Нехай коефіцієнти а₁, а₂, b₁, b₂, c₁, c₂ системи

  (1)

  відмінні від нуля.

Помножимо перше рівняння системи на а₂, а друге – на  – а₁.

Отримаємо рівносильну систему

      (2)

Замінивши друге рівняння отриманої системи сумою першого і другого рівнянь, отримаємо рівносильну систему

Якщо  ≠ 0, то із рівняння  (3) знаходимо ;  підставивши це значення в рівняння  (4) , знаходимо   

Якщо =0, а ≠ 0, то рівняння (4), а значить, і система (1) не мають розв’язків.

Якщо =0 і = 0, то рівняння (4) вірне при будь-якому значенні у; а значить система (1) має нескінченну множину розв’язків, наприклад виду

   у=t, де tR.

Приклад 1. Розв’язати систему  

Розв’язання. Помноживши перше рівняння даної системи на 5, а друге на 2, отримаємо систему, рівносильну дан

Висновок

У цій науковій роботі я ознайомилася із методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь. Крім того, я удосконалила вміння розв’язувати системи рівнянь та задачі,  які розв’язуються за допомогою систем рівнянь

Я вважаю, що ця тема є досить актуальною, тому що на Зовнішньому Незалежному Оцінюванні добре знання цієї теми є досить важливими. Я сподіваюся, що знання, якими я оволоділа під час написання роботи, стануть мені у пригоді в майбутньому, зокрема допоможуть мені здати тести ЗНО для вступу у ВУЗ.

Отже, знання і висновки одержані мною в процесі написання цієї роботи, допоможуть мені в подальшому вивченні математики, а також вони будуть корисними учням загальноосвітніх шкіл, і особливо тим учням які цікавляться математикою.

Література

1. Бахвалов И. В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.
2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометри и линейной алгебры. М.:Наука, 1984. с.165-166.

3.Вавилов В.В., Мельников И.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва, изд. "Наука", 1987.

4.Райхмис Р.Б. Задачи по математике для поступающих во ВТУЗы. Москва, изд. "Высшая школа", 1994.

5.Письменный Д.ТГотовимся к экзамену по математике. Москва, изд. "Айрис", 1996.

6.Никольский.С.М Алгебра. Пособие для самообразования.. Москва, изд. "Наука", 1985.

7. Формалев В. Д., Ревизников Д. Л. Численные методы. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2004. – 400c.

8.Цыпкин А.Г. Справочник по методам решения задач по математике. Москва, изд. "Наука", 1989.

9.Шарыгин  И.Ф. Решение задач. Москва, изд. "Просвещение", 1994.

10.Лобанова. А.ИМатематика. Алгебра и начала анализа.. Киев, изд. "Ваша школа", 1987.

11.Хорошилова Е.В. Элементарная математика.  Уч. пос. для старшекл. и абитур. Ч.22010 -435с

12.  Хеннер Е. К., Лапчик М. П., Рагулина М. И. Численные методы. Изд-во:   "Академия/Academia", 2004. – 384c.